<p>本书以通俗易懂的语言详尽地介绍了用Python语言编写的100个算法实例。这些实例大体上按照“问题描述——问题分析——算法设计——确定程序框架——程序编码实现——运行结果——问题拓展”的流程进行讲解，每个实例又根据实际需要有所取舍。这些实例兼顾了趣味性、实用性和可操作性，而且大多是围绕一些经典算法问题展开的。</p>    <p>相信通过学习和演练本书中的实例，读者可以极大地提高编程兴趣，拓宽编程思维，提高编程能力和算法设计能力，体会程序设计的乐趣，最终解决生活和工作中的相关问题。</p>

抓交通肇事犯的数学问题，一辆卡车违反规则撞人后逃跑，目击者只记得车牌的一些特征：前两位数字相同，后两位不同但相同，且号码是整数的平方。通过编程穷举循环，找出符合条件的4位数，并判断其是否为某个整数的平方，找到车牌号后输出结果。



1.1 抓交通肇事犯

兔子繁殖问题的数学模型，每个月兔子数量按照Fibonacci数列增长。初始时有一对小兔子，从第三个月开始每月新生一对，满三个月的小兔子又开始生育。通过迭代算法计算，得出30个月内每个月兔子的总数。程序设计中使用两个变量记录前两个月的兔子数，每次循环更新求得当前和下一个月的兔子数量。



1.2 兔子产子

使用牛顿迭代法求方程根的算法和程序设计过程。首先选择一个初始值x0，计算函数值f和导数值fd，通过迭代公式更新x值，直到连续两次x值的变化小于给定阈值（1e-5）。这个方法通过不断逼近的方式寻找方程ax3 + bx2 + cx + d = 0在1附近的实根。程序中包括输入系数、调用solution函数求解和输出结果等步骤。



1.3 牛顿迭代法求方程根

中国古代数学问题“百钱百鸡”的背景和描述，这个问题涉及买公鸡、母鸡和小鸡，总金额为100钱，总数为100只。分析指出，由于公鸡的最高购买数量限制（20只）和母鸡的最高购买数量限制（33只），问题可以通过解决一个包含三个未知数的不定方程组来求解。算法设计中使用了三层循环结构：外层循环控制公鸡数量，中间层循环控制母鸡数量，内层循环控制小鸡数量。通过穷举所有可能的组合，检查是否满足总金额和总数的条件，找到符合条件的鸡只组合。文章还提到了Python语言中的循环结构，包括while循环和for循环，并解释了它们的语法和使用方法。最后，提供了完整的Python代码来解决“百钱百鸡”问题，并指出通过优化算法，可以减少计算次数，提高效率。



1.4 百钱百鸡

小明有5本新书要借给A、B、C三位小朋友的数学问题，每人每次只能借1本。为了解决这个问题，可以通过排列组合的方法来计算出不同的借法数量。首先对书籍编号，然后使用循环嵌套的方式穷举每个人的选择，同时确保每本书只借给一个人。在输出结果时，添加条件判断保证三个人选择的书号各不相同。通过编写Python程序并运行，可以得到有效的借阅方法总数。



1.5 借书方案知多少

中国俗语“三天打鱼两天晒网”的背景，并通过一个具体问题阐述其含义：从1990年1月1日起按照这个模式行事的人，在未来的某一天是进行“打鱼”还是“晒网”。为了解决这个问题，需要计算指定日期与起始日期之间的天数，然后用5去除余数来判断。如果余数是1、2或3，则人在那天“打鱼”，否则就是在“晒网”。算法设计中涉及闰年的处理，通过一个名为runYear的函数来判断年份是否为闰年。整个程序包括输入指定日期、计算总天数、判断并输出结果等步骤。



1.6 打鱼还是晒网

一个人打算在5年内每年年底取出1000元，到第5年取完，需要计算初始存款额。通过逐年倒推和利息计算，最终使用编程方法得出应存入银行的钱数为4039.44元。



1.7 最佳存款方案

冒泡排序算法的详细过程，首先对N个整数进行升序排列的问题进行了描述和分析。冒泡排序通过比较相邻元素并交换位置，逐步将最大值移动到数组末尾，重复此过程直到整个数组有序。算法的关键在于使用两个循环：外层循环控制排序轮次，内层循环负责每轮的比较和交换。示例代码展示了如何在Python中实现冒泡排序，并通过用户输入元素进行排序演示。尽管这种方法简单易懂，但在最坏情况下比较次数较多，效率相对较低。



1.8 冒泡排序

二分查找法，这是一种在有序序列中寻找特定元素的高效搜索算法。它通过不断将待查范围缩小一半来实现。首先设定两个指针，low和high，分别表示待查范围的开始和结束位置。然后计算中间位置mid，比较目标值m与mid处的元素。如果m大于mid处的元素，则在mid+1到high之间继续查找；若小于，则在low到mid-1之间查找。这个过程反复进行，直到找到目标或待查范围为空。当找到目标时，返回其下标；否则，表示未找到。该算法适用于已排序的数据，并能显著减少搜索次数，提高效率。



1.9 折半查找

数制转换的问题描述和分析，包括不同进制之间的转换关系、基数和权的概念。二进制、八进制、十六进制转十进制的方法是按权展开相加，而十进制转其他进制则是通过除以基数取余或乘以基数取整数的方式。在编程实现时，利用字符数组存储数字，并通过自定义函数实现字符与数字之间的转换。程序设计中使用循环结构来处理多组数据输入，用一个标志变量控制循环的结束。此外，还提供了将其他进制转换为十进制和十进制转换为其他进制的函数，以及逆序打印结果的方法。整个程序旨在通过用户交互实现不同数制之间的灵活转换，并在Python环境中运行验证。



1.10 数制转换

第1章 趣味算法入门

个人所得税的计算依据收入分段设定不同税率。程序中TaxTable存储了征税范围及其对应税率，CaculateTax函数负责计算超过起征点部分的应缴税款，通过遍历TaxTable累加各征税范围内税费到总税额。Python语言的灵活性和便利性在该程序中得以体现，能根据输入收入自动计算个人所得税。

爱因斯坦提出的数学题涉及阶梯数量问题，要求找出1至n范围内满足特定条件的阶数：当阶数为x时，从第一级开始每次跳过x-1级到达新的一级，直至最后无法再跳。此题可通过循环结构解决。此外，文中还讨论了一个猜牌魔术问题，通过模拟魔术师出牌过程推断初始牌组排列。另一个例子是棋盘上麦子累加问题，涉及用循环解决不定方程组，计算从第一格开始每格麦粒数量为前一格的两倍，直至64格的总麦粒数。最后，马克思手稿中的数学问题也通过类似方式求解，同样利用循环结构来处理方程组。这些例子展示了循环在解决不同数学问题时的应用。

第2章 趣味数学问题

完数，即等于其因子之和的数，是数学中的一个有趣概念。判断方法是遍历数字的因子并求和，若结果与原数相等，则该数为完数。通过Python编程实现，可以设计算法找出指定范围内的所有完数。例如，要找出1到1000之间的完数，程序会用循环结构处理每个数字，计算因子之和进行判断。

此外，还涉及了自守数的概念，即一个数的n次方后，其各位数字相加的结果等于原数，如6^2=36，3+6=9。Python代码展示了如何找出100000以内的所有自守数。通过计算数的各次幂并求和，当结果与原数一致时，即找到一个自守数。

另一个有趣的数学问题是黑洞数。给定一个三位数，程序会分别提取百位、十位和个位数字，并以此作为最大值(max)和最小值(min)进行循环计算。在每次迭代中，保存上一次的差值到变量h，更新max和min，然后计算新的差值j。当发现两次结果相等时，输出此时的j为黑洞数并结束循环。

例如，用户输入三位数123，程序会分别提取出百位的1、十位的2和个位的3，作为初始的最大值123和最小值123。然后开始计算，直到找到满足条件的黑洞数为止。通过这样的编程实现，可以探索并发现数字中的隐藏规律。

在数学的世界里，这些概念和算法不仅展示了数字的魅力，也提供了学习和理解抽象概念的机会。通过编程实践，我们可以更直观地感受数学的美妙，并在解决问题的过程中提升逻辑思维和问题解决能力。无论是完数、自守数还是黑洞数，都是数学这个广阔领域中的瑰宝，等待我们去发现和探索。

第3章 各种趣味整数

Python编程在解决数学问题上能发挥重要作用。例如，可以使用辗转相除法（也称欧几里得算法）来计算两个整数的最大公约数（GCD）。这种方法基于这样的原理：两个正整数a和b（a>b），它们的GCD等于a除以b的余数r和b之间的GCD。通过不断迭代，直至余数为0，此时的除数就是两数的最大公约数。Python代码示例会清晰地展示这一算法在实际编程中的应用。

在计算最大公约数的基础上，我们还可以找出所有分母为固定值时的最简真分数（即分子和分母互质的分数）。方法一：利用辗转相除法找出每个可能分子与给定分母的最大公约数，如果结果为1，则该分数是真分数。方法二：更直接地检查分子和分母之间是否存在其他公因数，若没有则为最简真分数。

此外，Python还能处理更复杂的数学问题，如计算分数的精确值。当用户输入一个分数（分子和分母），程序会执行除法运算，并跟踪余数和商的变化。如果余数在之前出现过，说明出现了循环小数，程序将指出循环节的起始位置和第一个循环节的数值；若余数始终为0，则表示分数是有限小数，直接输出商即可。

另一个应用领域是解决涉及无限序列的问题，如斐波那契数列。通过定义一个函数，我们可以计算任意位置的斐波那契数。这个函数可以递归地调用自身，直到达到基础情况（前两个数），然后逐步返回结果。这种方式避免了重复计算，提高了效率。

Python还能处理更抽象的数学概念，如矩阵运算和线性代数问题。通过使用内置的numpy库，我们可以轻松执行矩阵加法、乘法以及求逆等操作，这对于数据分析和机器学习等领域至关重要。

总的来说，Python作为一种强大且灵活的编程语言，在解决各种数学问题上具有广泛的应用前景。无论是基础的算术运算，还是复杂的算法实现，Python都能提供简洁高效的解决方案，帮助我们更好地理解和处理数学问题。

第4章 趣味分数

Python的math模块是一个功能强大的工具，它包含了许多用于执行高级数学计算的函数。这个模块提供了数学常数如π和e，以及一系列用于三角学、对数、指数和双曲函数的运算。例如，你可以使用math.sqrt()来求解平方根，math.sin()和math.cos()分别处理正弦和余弦值，而math.log10()则可以计算以10为底的对数。此外，章节中还涉及到了哥德巴赫猜想，即所有2000以内的偶数都可以表示为两个素数之和。通过编写一个判断素数的函数并结合循环结构，我们可以验证这个猜想。

章节内容进一步扩展到素数的特殊类型，如孪生素数和梅森素数。孪生素数是指相差为2的连续素数对，比如(3, 5)和(11, 13)，而梅森素数则是形如2^n - 1且n为素数的整数，例如2^2 - 1 = 3和2^3 - 1 = 7。通过编程练习，读者被鼓励使用Python来寻找特定范围内的孪生素数和梅森素数，这有助于深化对素数概念的理解，并提高在实际问题中应用数论知识的能力。

书中还探讨了素数的其他相关主题，如素数的判定方法。例如，一个著名的算法是埃拉托斯特尼筛法，它能有效地找出一定范围内的所有素数。通过编写这个算法的Python实现，读者可以亲身体验到如何在计算机科学中利用素数的特性。

此外，章节还涉及到了素数在密码学中的应用，特别是公钥加密系统如RSA算法。这种算法依赖于大质数的难以分解性，使得信息传输更加安全。通过学习和实现这样的算法，读者可以理解素数是如何在现代通信技术中扮演关键角色的。

总的来说，这些内容旨在引导学生深入探索素数的世界，从基础概念到实际应用，逐步提升他们的数学思维能力和编程技能。无论是对数学理论的探讨，还是对现实问题的解决，素数都以其独特的性质激发了人们的兴趣和研究热情。通过学习这些内容，读者不仅能够掌握素数的基础知识，还能培养出独立思考、解决问题的能力，为未来的学习和职业生涯打下坚实基础。

第5章 趣味素数

谜语博士面对的挑战涵盖了问题描述、分析和算法设计。他首先剖析了一个婚姻匹配问题，通过逻辑推理确定解决策略是穷举所有可能组合。接着，他解析了关于说谎者的问题，通过每个人的话语推导出判断真假的逻辑表达式。在处理谁是窃贼的问题时，博士利用四个人的陈述构建了一组条件表达式，并考虑诚实与说谎两种情况，以确定真凶。

博士遇到的三个人可能来自诚实族或说谎族。他分析了他们的对话，推断出每个人所属族群的可能性：第一个人的话暗示他可能是诚实者，或者他来自说谎族，此时其他两人都不是诚实者；第二、第三个人的话提供了更多线索，他们的话语可能确认或否定诚实族的存在。

接下来的两个逻辑推理问题涉及诚实族、说谎族和两面族的人。第一个问题是通过穷举找出三个人的真实族群，使用Python代码实现。第二个问题更复杂，需要考虑人物位置关系，同样用嵌套循环遍历所有可能组合，并利用逻辑条件判断找到答案。最终结果是A、B、D额头上贴着黑纸，C、E的则是白纸。

在解决这些问题的过程中，博士运用了程序设计中的变量和循环结构。他使用变量a、b、c、d、e代表五个人额头上的纸颜色，并通过嵌套循环遍历所有可能的颜色组合。同时，利用逻辑条件判断来筛选出满足特定条件的情况。最终，程序输出了A、B、D的黑纸和C、E的白纸结果。

总的来说，谜语博士通过深入分析问题，巧妙运用逻辑推理和编程技巧，成功解决了这些复杂的逻辑问题。他的方法展示了如何在面对多变情况时，系统地组织思路，逐步缩小可能的答案范围，直至找到正确答案。

第6章 趣味逻辑推理

编程实现扑克牌发牌过程：定义花色和数字列表，生成52张随机排列的牌，分配给四人并排序。人机猜数游戏：计算机随机生成四位数，玩家猜测，程序判断猜测与目标数字的正确位数及位置，记录匹配过的数字位置，当所有数字和位置均正确时结束游戏，并提示胜利信息。Python中random库用于生成随机数。24点游戏：给定四个1-10之间的整数，通过加、减、乘、除运算得到结果为24的表达式，穷举64种表达式类型并添加5种括号方式覆盖所有优先级，输出满足条件的结果或提示无法得到24。Python time模块提供与时间相关的函数，如获取当前时间戳、格式化时间和暂停程序执行等，在处理时间任务时十分实用。

第7章 趣味游戏

该章节一个数学问题：三位渔夫如何在不倒出鱼的情况下，通过目测将21只筐中的7筐满鱼、7筐半鱼和7筐空鱼平均分成三份。为了解决这个问题，文中提出使用一个3x3的数组来表示每个人分到的整筐鱼、半筐鱼和空筐数，并给出了相应的编程代码以寻找所有可能的解决方案。程序通过遍历不同的组合，检查每个渔夫是否得到恰好3.5筐鱼，确保分配的合理性。运行程序后，会输出满足条件的所有分配方案。



8.1 平分7筐鱼

农夫过河问题的描述和分析，该问题涉及农夫、狼、羊和白菜需乘船过河，但其间有互相伤害的规则。为解决此问题，文中提出使用Python编程实现，通过定义二维数组记录每一步中各对象的位置，并用0和1表示两岸。程序采用递归算法，逐步尝试各种可能的移动方式，同时检查错误情况（如羊和农夫分开，而狼或白菜与羊同在），确保安全过河。当所有对象均成功到达对岸时，输出相应的过河步骤。程序设计中还包括避免重复步骤和错误操作的判断逻辑。



8.2 农夫过河

矩阵转置的概念和操作方法。矩阵转置是将矩阵的行与列互换，形成一个新的矩阵。首先定义了一个3x3的矩阵A，并展示了其转置后的新矩阵B。算法设计中提到，通过一个二维数组存储矩阵元素，对于3x3的矩阵，只需交换主对角线右侧上方的三个元素和左侧下方的三个元素即可完成转置。然而，初始的循环代码存在问题，因为它导致了不必要的元素交换。修正后的代码只在j大于i的情况下进行交换，确保了正确的矩阵转置。最后给出了一个完整的Python程序示例，展示了如何使用这个方法实现矩阵转置，并附有运行结果来验证其正确性。



8.3 矩阵转置

狼追兔子的问题描述，一只兔子藏在10个环形排列的洞之一，狼按特定顺序寻找，从第一个洞开始，隔一个洞找，如未找到继续隔更多洞找。若狼找不到兔子，程序通过数组和循环模拟这个过程，标记已搜寻过的洞，最后未被标记的洞即为可能藏身之处。程序用Python编写，穷举搜索1000次，然后输出可能藏有兔子的洞的位置。



8.4 狼追兔子

一个选美比赛的评分规则，得分越高名次越低，相同分数选手名次相同且连续编号。为实现这个规则，需要编写Python程序，通过冒泡排序法对选手的得分进行排序，然后根据得分设定选手的名次，最后按选手序号重新排序输出结果。示例代码中定义了三个函数：sortScore用于按照得分排序，setRand用于设置选手名次，sortNum则负责按选手序号排序。程序首先创建一个包含选手序号、得分和初始默认名次为0的数组，然后调用这三个函数处理数据，最后输出选手的序号、得分和最终名次。



8.5 选美比赛

邮票组合问题的求解方法，涉及给定不同面值邮票的情况下，如何通过合理搭配贴在信封上，使得总邮资最大。首先，输入四种邮票的面值并排序，然后根据题目要求至少使用三种不同的邮票，取最大的三种面值，分别贴3张、1张和1张，计算出最大邮资。程序提供了详细的步骤，并给出了一个示例运行结果。



8.6 邮票组合

5-魔方阵的概念，它是一个n×n的方阵，使用1到n^2的自然数排列而成，每行、每列及对角线元素之和均为特定常数。常数计算公式为n乘以(n^2+1)除以2。通过示例解释了5-魔方阵的具体构成及其元素之和的特点。接着，详细描述了一个算法来生成这种魔方阵，包括定义一个函数array()，根据输入的n值生成并显示魔方阵，确保n为奇数。使用数组存储魔方阵，并按照特定规则确定每个数字的位置。程序框架中包含了初始化数组、生成魔方阵和打印结果的过程。最后，展示了在Python环境下运行该算法得到5-魔方阵的示例代码及其输出结果。



8.7 魔方阵

马踏棋盘的问题描述和分析，即在一个8x8的国际象棋棋盘上放置一个马，按照马走日的规则移动，要求每个方格只访问一次，最终让马走遍所有64个方格。问题的关键在于设计一个算法，使得数字1到64能按照马的移动规则填入棋盘，形成行走路径。解决方案是使用递归的深度优先搜索方法，通过函数TravelChessBoard()模拟马的每一步移动，并在找到可行路径或遍历完整个棋盘时结束搜索。这个过程可以类比为探索一棵描述所有可能走法的树，直到找到一个使马踏遍棋盘的路径为止。



8.8 马踏棋盘

删除字符串中除首尾外其它"*"的方法。首先分析问题，确定使用Python的字符串操作来解决。字符串在Python中有特定的操作方法，如replace、split和join等。通过实例代码展示了如何使用这些方法对字符串进行处理。例如，可以使用replace方法替换指定字符，split方法分割字符串，以及join方法合并字符串。此外，还介绍了字符串大小写转换和验证的函数。算法上，可通过遍历字符串并将字符存入数组，然后检查并替换非首尾的"*"。最后给出了完整的程序代码，并展示了运行结果。



8.9 删除“*”符号

在字符串中插入字符的问题，要求在所有数字前加上"$"符号。通过遍历字符串并将字符存入数组，使用isdigit()函数判断元素是否为数字，如果是，则在其前面添加"$"。程序首先获取用户输入的字符串，然后调用insert_str函数处理并打印结果。



8.10 在指定位置插入字符

第8章 趣味数组

卡布列克常数问题涉及对一个四位数执行特定数学运算，最终结果恒为6174。解决这个问题的算法包括分解数字、比较最大值和最小值以及递归计算。通过编写函数来实现这些功能，并提供示例代码展示解决方案。运行程序可验证这个称为卡布列克常数的现象。

汉诺塔问题是一个经典的递归问题，要求将一组圆盘从一个柱子移动到另一个柱子，但只能一次移动一个且较大圆盘不能放在较小圆盘之上。解决方法是将N-1个圆盘借助第三个柱子暂存，然后将第N个圆盘移到目标柱子，最后再把N-1个圆盘从辅助柱子移回目标柱子。通过定义函数来执行这些步骤，并在主程序中调用该函数，输入要移动的圆盘数，即可输出详细的移动步骤。运行程序可以观察到不同数量圆盘转移所需的步数变化。

这两个问题都展示了数学中的递归思想，前者通过计算揭示了数字之间的有趣关系，后者则是一个直观的物理模型，演示了如何使用递归来解决看似复杂的问题。

第9章 趣味函数递归

四方定理表明所有自然数均可表示为最多四个平方数之和。为此设计的程序允许用户输入任意数值，通过四重循环穷举所有可能组合，一旦找到满足条件的一组数（其平方和等于输入值），便证明了四方定理，并输出解后停止运行。exit(0)函数用于在找到解时结束进程，参数可选，默认为正常退出。例如，用户输入三个自然数，程序会验证它们是否能通过四个数的平方和来表示，即使有多种分解方式，四方定理仍成立。此外，内容还涉及自然数变换猜想，即特定规则下最终结果始终为1，可通过编写程序验证其对给定输入是否成立。最后提及使用蒙特卡罗方法估算圆周率π，基于随机数和统计分析，尝试次数越多，π值越接近真实值。

第10章 定理与猜想

turtle模块是Python中一个简易的绘图工具包，用于图形绘制。首先，要导入turtle模块，然后设定画笔的颜色、移动位置和抬起状态等操作。通过调用相关函数，可以创建直线图形。此外，turtle还支持设置海龟颜色、填充形状、控制绘图状态以及使用事件等功能，便于构建复杂图形。

Python编程语言结合turtle模块能绘制各种图形。教程中展示了如何绘制折线，包括提笔、移动画笔位置、落笔并在终点处计算两点间距离后添加文本。接着是用turtle创建笑脸的过程，涉及设置宽度和颜色，以及使用圆、直线组合成笑脸各部分。此外，还讲解了如何绘制彩色多边形，通过循环改变画笔颜色和宽度实现色彩变化。最后，展示了利用NumPy库生成数据并结合matplotlib库绘制余弦函数曲线的方法。

NumPy是Python中用于数学和科学计算的工具包，其array()函数能创建多维数组，并支持指定数据类型。库内包含多种数组生成与操作函数，如zeros、ones生成全0或全1数组，arange和linspace创建序列，random.rand和random.randn生成随机数。此外，还提供丰富的数学运算功能。matplotlib是Python中主要的二维图形绘制工具，依赖于NumPy，并通过pyplot模块简化绘图过程，包括创建图形、线条绘制、标签设置等。

使用matplotlib的pyplot模块可以绘制饼状图和散点图。实例代码演示了如何设置中文标签、生成数据、添加爆炸效果以及调整图形属性，有助于初学者理解和实践Python的数据可视化。通过这些教程，用户能掌握基本绘图技巧，并应用到实际项目中。

第11章 趣味图形

约瑟夫环问题是一个经典的计算机科学挑战，涉及15名教徒和非教徒通过特定报数规则决定牺牲者。为解决此问题，我们构建了一个二维数组表示参与者，并设计算法模拟报数过程，确保每个人在正确时刻被选中。这体现了编程如何处理逻辑难题，特别是循环和条件判断。

双色球彩票模拟开奖程序需生成6个不重复的红色球号码和1个可重复的蓝色球号码。我们利用Python的random模块生成随机数，并通过循环保证红色球的独特性。代码包含变量定义、条件判断、数组操作，以按要求输出开奖结果。此外，还有一个填表问题，要求在表格中填充数字，确保每列右侧大于左侧，每行下方大于上方，需用算法解决。

文件读写是编程中的基本操作。在Python中，我们使用read()函数获取内容，write()函数保存数据。操作结束后，务必调用close()方法确保数据安全。还有readline()和readlines()等其他实用函数。通过实例代码，可以直观了解如何在Python中执行文件读写任务。

这两个问题展示了编程的多面性：从解决抽象数学问题到处理实际应用中的数据输入输出。无论挑战大小，编程都能提供有效的解决方案。

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