本书从历史的视角向我们娓娓讲述数字迷人的发展史，从数字的发明到各种运算符号，从零的出现到超越数的神奇，从十进制到现代的信息论，从第一台计算机的发明到人类计时的方式，展示了数字是如何从生活中来，又是如何影响着我们周围的方方面面的。
你可知道除号原来是一把短剑的样子？你可知道简单如1、2、3这样的数字几乎毁灭了数学？到底什么是虚数？阅读过程中，你会遇到古代的贤者，他们会告诉你何为数字，以及如何使用数字。你还会看到关于数学大师的奇奇怪怪的故事，例如对数的发明人员约翰?纳皮尔手不释鸡，斐波那契用兔子展示数列。
数字表面上看着简单，其实颠覆你的想象。本书将带你踏上全新的旅程，走进美妙的数学世界；为你打开数字的历史之门，探索漫长岁月中惊人、迷人而又恼人的数学，展示比1、2、3丰富得多的数字世界。本书读来轻松惬意，愉悦人心，适合所有爱好数学的人阅读。

汤姆·杰克逊（Tom Jackson）
英国知名科普作家、编辑，从事科普创作和编辑20多年，创作过100多部畅销作品。汤姆擅长多个学科领域的知识，其作品涵盖范围甚广。他一直致力于寻找有趣、生动的叙述方式，以使自己的作品适合不同年龄层、不同阅读能力的读者阅读。汤姆偕妻子和3个孩子居住在英国的布里斯托。

数字的起源和演变。人类从简单的计数符号开始，如手指和石头，发展出各种计算系统。最早的计数符号刻在骨头 上，已有3万年历史。随着文明的进步，出现了更复杂的数字系统，如古埃及、中国和罗马的数字。这些系统的共同点都可以追溯到最初的计数符号。数字不仅是用来计数的工具，还用于记录法律、税务等信息。自然数的概念被引入，包括0和所有正整数，它们被用来表示物品的数量。古代美洲文明甚至使用绳结进行计数，如秘鲁印加文化的奇普。这些都展示了人类对数量理解和记录的不断进步。



数字的发明

数字，这个在现代社会中无处不在的概念，其发展历程却源远流长且充满变革。最初，数字的运用主要局限于记录债务、财产和田产的管理上，那时的书写系统与我们今天所熟悉的截然不同，复杂而繁琐。在那个时代，心算在生活中扮演着至关重要的角色，然而对于复杂的数学运算，人们则依赖于手工计算或者借助简单的工具。

随着时间的推移，一种更为便捷的数字体系开始崭露头角，并逐渐受到人们的青睐。这便是我们如今所熟知的阿拉伯数字系统，它的起源可以追溯到古代印度文明。这个系统的优越性在于其简洁明了的结构和易于运算的特点，使得数学计算变得更加高效。

在中世纪的欧洲，商人和学者们开始接触到这种新的数字体系。其中，意大利数学家斐波那契（尽管他的名字更为人所知，但这里我们使用他更早时期的名字）在其著作《计算之书》中详尽地介绍了阿拉伯数字系统，并展示了其在商业交易和复杂数学问题中的应用。这本书不仅教会了人们如何使用新的数字系统，还阐明了它在提高运算效率方面的明显优势。

随着《计算之书》的传播，欧洲各地对罗马数字的依赖逐渐减弱，而阿拉伯数字则开始被广泛接受并采用。这一转变并非一蹴而0，而是经历了几个世纪的演变和适应。然而，一旦新的数字体系确立其主导地位，其带来的效率提升和知识普及就变得无可估量。

到了现代，阿拉伯数字已成为全球通用的数字符号。无论是在日常生活中还是在科学研究中，我们都离不开这套简洁、直观且高效的数字系统。它不仅简化了计算过程，还促进了世界各地的文化交流与科技进步。

回顾历史，我们不难发现，每一次技术或知识体系的革新，都伴随着人类社会的进步和变革。阿拉伯数字系统的普及就是一个典型的例子，它证明了创新的力量以及传播知识的重要性。在未来的岁月里，我们期待更多这样的革新继续推动人类文明向前发展。

数字系统

分数的起源和发展。分数最初来自拉丁语“broken”，表示分开的意思。古代人们用荷鲁斯之眼和嘴的符号来表示分数，古埃及数学允许的是单位分数。后来印度和阿拉伯学者发展了分子与分母的写法，进一步明确了分数的概念。现在我们使用的分数系统在400年前就开始使用，尽管当时人们对分数是否为数还存在争议。



分数

零这个数学概念的历史和发展。零不仅代表“空”或“无”，还在进位制数字系统中起到关键作用，表示数位的缺失。它的符号经历了从点到留白再到钩形符号的变化，最终形成现在的圆圈形状。不同文化对零有不同的称呼和理解，如古希腊天文学家用圆形表示零，而古印度则用圆点。随着数学的进步，零引入了负数的概念，扩展了数字的范围，并且影响了计算方法和数学理论的发展。



毕达哥拉斯，这位著名的数学家，因勾股定理而广为人知。他不仅在几何学上有贡献，还在乘方和运用乘方理解自然世界方面有所建树。勾股定理展示了数学的美，简单易用且揭示了世界的秘密。它表明直角三角形的长边（弦）长度等于两短边平方和的平方根。尽管毕达哥拉斯证明了这个定理，但实际上在公元前6世纪之前，它已被广泛应用。毕达哥拉斯本人对数字有着神圣的理解，他认为宇宙由整数构建，而分数并非数字。他和他的追随者相信特定的数字组合，如勾股数，揭示了神的作品和自然的秘密。他们的数学探索包括对数字分类、使用正方形证明定理以及通过音乐来理解数学关系。然而，毕达哥拉斯的理念在遇到无理数，如√2时遇到了挑战，因为它不能表示为整数的比值，这打破了他们认为自然界只由整数组成的观点。尽管毕达哥拉斯学派对此保持秘密，但这个发现开启了数学的新篇章。



勾股定理和勾股数

黄金比例在数学和艺术中的交汇，它展示了美如何成为数学的一部分。黄金比例是一种特殊的分割线段的方式，使得两个比一致，即“整个的比长的等于长的比短的”。这个比例的数值是一个无限不循环小数，通常用希腊字母φ表示。历史上许多著名人物如欧几里得、维特鲁威、达·芬奇和柯布西耶都研究过它，并在建筑、艺术作品中应用。黄金比例被认为能创造出视觉上最为和谐的比例，不仅出现在人工制品中，也在自然界，如花朵和生物结构中体现。虽然有些理论认为大金字塔的设计也融入了黄金比例，但这一观点仍有争议。



黄金比例

数学中的幻方问题，它常以游戏或谜题形式出现，古代最多的是幻方。中国的《九章算术》中有最早的描述，3×3的方块中9个数加起来总和为15，被称为洛书或河图。不同阶的幻方有不同的构建规则，如不存在2阶幻方，但3阶及以上可以构建。历史上，波斯、阿拉伯学者研究并发展了幻方理论。艺术家阿尔布雷特·丢勒也在作品中融入幻方元素。



幻方

素数，这一独特的数字群体，因其只能被1和自身整除的特性而显得尤为神秘。从2、3、5这些基本的素数开始，它们构成了一个深奥且富有美感的世界。尽管在数学的广阔海洋中存在着无数的素数，但人们逐渐发现它们之间隐藏着一些有趣的模式。比如，孪生素数这一对相差仅2的素数伙伴，以及那些能够表示为两个素数之和的偶数，这些都是对素数规律的初步探索。

高斯和黎曼这两位数学巨匠也对素数的研究做出了重大贡献。尤其是黎曼，他引入了复杂的泽塔函数来预测素数的数量，尽管这一方法尚未被完全证实其有效性，但它无疑为素数研究开辟了一条新的道路。

在素数的世界中，还存在着一些特殊的数字，如完全数。它们的定义是等于自身所有因子的和，这与梅森素数有着密切的关系。梅森素数是指形如2^p-1（其中p也是一个素数）的特殊素数，它们在密码学等领域具有重要应用。

对于初学者来说，了解素数的一个简单方法就是使用埃拉托色尼筛子。这个古老的算法能有效地找出一定范围内的所有素数，例如100以内的素数，通过这种方法便能一一揭示它们的存在。

尽管我们对素数的理解已经深入不少，但仍有许多未解之谜等待破解。最著名的莫过于偶数表示为两个素数之和的问题，即所谓的哥德巴赫猜想。这个在数学界流传了三百多年的猜想，至今仍未得到证明或否定，它像一座矗立在素数研究道路上的丰碑，激励着一代又一代的数学家去探索、去挑战。

总的来说，素数是数学中的一块瑰宝，它们的美妙与神秘吸引着我们不断深入其中。无论是已知的规律还是未知的谜团，都为我们提供了无尽的学习和发现的机会。在未来的日子里，相信会有更多的数学天才涌现，为揭示素数的全貌贡献自己的力量。

素数

数学中的特殊数π，它表示圆周长与直径的比例，是个无穷不尽的数。尽管古代文明如巴比伦和古埃及已经知道π的存在，但只能估算其值。阿基米德是最早用几何方法精确计算出π的古希腊数学家之一，他通过不断增加多边形的边数来逼近圆的形状。现代工程师使用更精确的π值（通常需要39位小数）来制造复杂的圆形物体。此外，π在众多科学领域中都有应用，如物理学和工程学中的各种计算。



数学中的超能力——指数，它是简化大数和复杂乘法的快捷方式。指数由底数和指数两部分组成，指数表示底数连乘的次数。例如，2^3表示2自乘3次得到8。指数源于几何学，如计算正方形（平方）或立方体的面积。随着指数的增长，所代表的数量呈爆炸性增长，如印度牧师拉赫·塞萨在棋盘上的麦粒故事所示。此外，还介绍了10的幂和前缀词，如兆、吉等，用于表示不同数量级的大数。通过指数和这些度量单位，我们可以轻松处理现实世界中巨大或微小的数量。



乘方

斐波那契数列的起源和特性，它源于兔子繁殖的问题，通过每个新月兔子数量是前两个月之和的规则形成。这个数列虽然看似简单，却与大自然有着奇妙的联系，并在图案和图形中展现出丰富的影响。斐波那契数列并非算术或几何数列，每两个数之间的差距不同，但可以通过上两个数相加来推导出新的数。此外，文中还提到了数学家对兔子繁殖问题的抽象处理，尽管这与现实不符，但它展示了斐波那契数列的有趣性质。通过观察斐波那契数列，人们可以发现其中的循环模式和与其他数学概念如黄金比例的关联。



斐波那契数列

虚数在数学中的应用和历史。虚数是与实数相对的概念，最初被引入是为了解决某些方程的根问题。虽然起初被认为是违反传统数学规则的奇异概念，但虚数最终在理解和描述现实世界的复杂现象中发挥了重要作用，如复数用于处理波动和旋转的问题。虚数单位i的平方等于-1，这一特性使得复数运算具有独特的性质。历史上，意大利数学家卡尔达诺和高斯等人为复数理论的发展做出了重要贡献。



复数

十进制小数在日常生活中的广泛应用，如商品价格表示和股价变动。小数通过扩展整数系统来表示介于整数之间的数值，起源于400年前的荷兰数学家西蒙·斯蒂文，他发明了小数的写法。早期的小数写法较为复杂，但比基于六十进制的系统更便于书写和计算。现代小数标注方法经历了长期演变，最终形成我们今天所熟知的形式。



十进制小数

对数这一数学工具的原理和应用。对数通过将复杂的乘法转化为加法，简化了大数运算。苏格兰数学家约翰·纳皮尔于1614年发明了对数，他将对数命名为“logarithmorum”，意为理性和数的结合。多年后，亨利·布里格斯改进了对数系统，以10为底的对数被称为常用对数。通过对数表，人们可以查得任意数的对数值，进行精确的大数计算。对数在多个领域有广泛应用，如测量酸碱度（pH值）、地震震级和声音强度等，使得处理巨大差异的数据变得便捷。



对数

数学运算符号对简化数学表达的重要性，虽然在计算中不可或缺，但它们其实是很晚才被发明的。早期数学家通过嵌入文字和使用线段来表示数字和运算。随着时间推移，各种运算符号如加号、减号、等号等逐渐出现，并由不同的数学家引入，形成了现代数学中的符号系统，使得复杂的理论能以简洁的形式呈现，增添了数学公式的美感。



数学运算符号

矩阵和向量这两个数学概念在影视剧中的应用以及它们的含义。矩阵是由数字排列成的阵列，用于各种计算，如搜索引擎运算是其实际应用之一。向量则表示有方向性的量，例如物体运动的方向和速度。这些概念最初用于解决方程组，后来扩展到描述三维甚至多维空间的变换和力的作用。在现代技术中，矩阵被广泛应用于计算机领域，如谷歌搜索引擎通过矩阵来索引和匹配网页内容。



向量和矩阵

计算器的演变历史。早期的计算器是手动操作的机械装置，如帕斯卡计算器，用于简化复杂的数学计算。帕斯卡还发明了帕斯卡三角，用于求解方程和发现数字模式。随着时间推移，计算器不断改进，出现了能进行乘法运算的机器。然而，这些计算器昂贵且不耐用，直到工业革命时期，机械计算器才变得更加实用。后来，电子计算机的出现彻底改变了计算领域，它们不仅速度快，而且功能强大，能够运行复杂的算法和程序。这个过程中，许多数学家和工程师如莱布尼茨、巴贝奇等人的贡献至关重要。同时，女性程序员阿达·勒芙蕾丝也因其对计算机编程的开创性工作而被铭记。如今，计算器已成为电子设备上的一个应用程序，无处不在地服务于我们的日常生活。



计算器

测量的本质是将物体特性转化为数字，以便于数学分析和比较。统一单位是测量的前提，国际单位制在19世纪初引入法国，成为现代世界广泛使用的标准。基本的SI单位有7个，如米、千克、秒等，其他单位由此导出。早期人们通过身体部位进行不精确的测量，后来制定了标准化单位，如古埃及的腕尺和古希腊的施塔迪翁。随着文明发展，出现了更多度量单位，如英制单位和国际单位制。现代标准度量单位基于科学原理定义，如米定义为光在真空中行进的时间间隔，时间单位秒则由铯原子的跃迁频率决定。这些标准化的测量系统确保了全球范围内测量结果的一致性和准确性。



度量与单位

不同文化中存在各种计数体系，比如巴比伦的六十进制、玛雅的二十进制以及澳大利亚原住民运用的五进制。现代计算机科学中关键的二进制系统，是由1和0构成，它被用来表示和处理信息。这种数据格式与我们日常使用的十进制不同，但通过布尔代数，我们可以进行逻辑运算，如“与”（AND）、“或”（OR）和“非”（NOT）。这些基本的逻辑操作构成了现代计算机和数字通信的基础。

约翰·布尔在19世纪发展了布尔代数，它是一种数学形式系统，特别适合用来描述电子开关的行为。在这种体系中，两个值（通常为0和1）可以进行逻辑运算，产生第三个值。例如，“与”运算是当两个输入都为1时结果才为1，其余情况结果为0；“或”运算是只要两个输入中的任意一个为1，结果就为1；而“非”运算是取反输入的值，即如果输入是1，则输出是0，反之亦然。

在计算机科学中，这些逻辑运算被广泛应用。例如，在编程中，布尔表达式用于条件判断，决定程序的执行路径。在硬件层面，数字电路（如门电路）使用二进制和布尔代数原理来处理数据和执行指令。此外，错误检测和纠正技术，如奇偶校验和CRC校验，也依赖于这些逻辑运算。

为了将复杂的十进制信息转换为计算机可以理解的二进制，我们使用编码系统，如ASCII码或Unicode。这些编码系统为每个字符、数字和标点符号分配一个唯一的二进制数，使得数据可以在计算机之间传输和存储。

总的来说，布尔代数是现代电子技术和计算机科学的基础之一，它通过逻辑运算简化了信息处理，并为我们提供了描述和设计复杂系统的工具。

二进制与其他进制

数学中的神秘数字e，它在自然现象描述中频繁出现。e代表指数增长，是无理数和超越数，其值难以精确计算但影响广泛。从放射性衰变到银行复利，再到圣路易斯大拱门的曲线方程，e都扮演着重要角色。它的发现历史和应用展示了数学的深邃与奇妙。



数e

取模运算的概念和应用。取模运算是通过除法得到余数的过程，由数学大师卡尔·弗里德里希·高斯引入。它被用于划分数字成不同的等价类，便于计算和问题解决。在日常生活中，如看钟表、邮政编码和条形码读取中都有应用。此外，取模运算还被用于网络安全的加密解密过程中。通过将所有数按组分成等价类，简化了加减乘运算的结果判断。高斯利用取模运算解决了许多复杂问题，并在《算术研究》一书中详细描述了这一概念。



取模运算

数学领域中超越数的发现和特性。刘维尔常数作为首个被发现的超越数，打破了数字世界的有序观念。大多数数字实际上是无序的，构成了混乱的旋涡。超越数游离于常规数学规则之外，不属于有理数或代数数的范畴。例如，无理数π和e虽然知名，但无法精确表示其小数部分。19世纪，数学家们如厄米特和刘维尔的工作揭示了超越数的存在，并挑战了当时对数字分类的理解。随着研究深入，人们发现超越数并非稀有，反而构成了庞大的集合，这在第三次数学危机中得到解决，借助于康托尔的集合论。这些发现扩展了我们对数字世界本质的认识。



超越数

对最大数的思考，指出无穷大并非实际的最大值，而是量的概念。探讨了无穷大的定义和特性，以及数学中不同类型的无穷大。通过一个想象中的无穷次游戏解释了即使放入球的速度远超取出，但因操作次数为无穷，最终结果仍是空桶。此外，还提及了有限时间内关于无穷大的游戏，展示了在时间限制下无穷操作的悖论。文章还涉及古希腊哲学家芝诺的悖论，以及对无穷大进行计算的历史和方法，包括微积分和集合论的发展，以及康托尔对无穷理论的重要贡献。



无穷大

集合论在数学中的重要性以及它如何帮助简化问题和比较分析。然而，20世纪初，简单的分类操作引发了数学危机，直到集合论的严谨化才解决。数学中，无论是实物还是抽象概念，都可以视为集合元素，这种灵活性曾导致了数学史上的危机。随着超越数的发现和康托尔对无穷集的研究，数学家们意识到实数中的大多数是超越数，这打破了原有的规则。随后出现的逻辑悖论促使集合论进行修正，这些修正不仅影响了数学本身，还触发了计算机革命，深刻改变了世界。通过集合运算，如交集、并集和差集，我们可以分析不同集合之间的关系。全集作为包含所有元素的概念，是朴素集合论的一部分，但其自指特性曾引发悖论。无限集，如自然数集，展示了无限元素的排列方式。为定义实数在数轴上的位置，戴德金分割技术被用来划分有理数和无理数。悖论，如说谎者悖论和理发师悖论，揭示了自我指涉推理中的矛盾，挑战了数学体系的完整性和一致性。尽管存在不完备性，但罗素、怀海德和哥德尔的工作对现代逻辑和计算机科学产生了深远影响。



集合论

对大数的理解和处理方法。人类理解大数有困难，生活中常用估算代替精确数字。科学记数法提供了一种表达和比较大数的方法，通过指数表示乘方的大小。古戈尔是一个被广泛认知的大数，而古戈尔普勒克斯则更大，难以用语言描述。这些超大数虽然远离实际应用，但展示了数学处理极限的能力。



10的古戈尔次方：古戈尔普勒克斯

二进制系统对计算机发展的重要性，它通过0和1的数字组合处理信息。早期的计算机使用热离子真空管，能耗高且体积大。随着晶体管的发明，计算机变得更小、更节能。香农的工作奠定了现代计算机二进制运行的基础，他的理论还应用于电话网络和信息传输，推动了数字化革命。



信息论

梅森素数，这是一种特殊类型的素数，可以通过公式2^p-1来表达，其中p本身也是一个素数。这个概念与17世纪的法国修士马林·梅森有关，他在这个领域的工作对数学界产生了影响。虽然并非所有素数都能通过这个公式得到，但梅森素数因其与已知素数的关系以及可能揭示的数学特性而受到关注。现代计算机技术如互联网梅森素数大搜索（GIMPS）项目，使得普通爱好者也能参与到寻找新梅森素数的工作中，这加速了素数发现的步伐。



奇妙数学史