胡桃夹子工作室，一个成立于2013年的知识类短视频创作者，至今已有近两百部作品面世，其内容深受观众喜爱，全网累计播放量突破四亿次。特别在2016年，多个视频单集点击量超过千万，展现出强大的创作实力和广泛的社会影响力。其科普节目《分钟学堂》及其他科学普及作品屡获国家级和地方级科普奖项的肯定，于2017年荣获微博科普授予的“特色科普机构”荣誉，进一步确立了其在科普领域的专业地位。

数学公式是个很奇妙的东西，从最简单的1+1=2，到拉开航天航空序幕的齐奥尔科夫斯基公式，它们虽然只有几个符号，却能够描述大千世界。为什么1+1=2也算一个伟大的发现？为什么万有引力定律是人类思想的一个转折点？为什么等号分隔的两组数字或符号就能够改变世界？你都能在本书中找到答案。
本书将用有趣的手绘方式，把人类历史上最具有影响力的10个数学公式介绍给读者。我们将从每个数学公式出现的历史说起，用简单易懂的语言带着每一个阅读本书的读者一起，跟着人类发展留下的脚印，探寻公式背后的哲思。

胡桃夹子工作室，成立于2013年，目前有近两百部手绘知识类短视频面世，全网总播放量超过四亿次。2016年，胡桃夹子工作室多部短视频单集播放量突破千万，原创科普节目《分钟学堂》及其他科普作品多次获得国家及各省市评选的科普奖项。2017年，胡桃夹子工作室获微博科普“特色科普机构”称号。

数学公式的重要性，从简单的加法到影响航天航空的公式，它们虽由少数符号组成，却能描述世界的复杂现象。书中通过手绘和易懂语言，讲述历史上10个最具影响力的公式的起源与背后的哲学思考。



内容提要

人类自启蒙教育阶段就开始学习数字计数，这个看似简单的技能在数学乃至语言文字中扮演着至关重要的角色。对比小朋友和数学家对1+1=2的理解，前者可能仅限于基本的加法运算，后者则会深入探讨其背后的逻辑和应用。动物如猕猴、黑猩猩和蜜蜂也展现出一定的计数能力，这或许暗示了计数是自然界普遍规律的一种体现。

《奈何姓万》的故事揭示了从基础计数到处理更大数字表达的挑战，以及对更高效数字系统的探索。勾股定理，这个在不同文明中独立发现的重要数学原理，以其发现者毕达哥拉斯的名字在西方流传开来，尽管他本人并未留下证明。阿基米德则总结了杠杆原理，并留下了“给我一个支点，我能撬动地球”的名言，其对日常生活和早期物理学定律的影响深远。

约翰·纳皮尔在16世纪末受等差数列和等比数列的启发，创建了对数表，将大数字的乘法运算简化为加法，极大地提高了天文学家的工作效率。他的发明迅速传播至欧洲，并广泛应用于科学研究和工程计算中，如开普勒定律的发现和宇宙距离的测量。尽管在20世纪70年代计算器出现后，对数逐渐被取代，但其历史贡献不容忽视。

热力学第二定律阐述了热量不能自发地从低温物体转移到高温物体的现象，这是由克劳修斯提出的。科学家们试图从微观角度理解这一原理，玻尔兹曼将熵与系统混乱程度联系起来，提出熵与微观态数量成正比的公式，从而重写热力学第二定律：在任何自发过程中，孤立系统的总熵不会减小。这一概念帮助我们理解了为何事物会趋向于更加无序的状态。

回顾这些知识，从基础计数到复杂的科学原理，它们共同构成了人类对世界认知的一部分。无论是通过观察动物的自然行为，还是通过数学和物理学的研究，我们都试图揭示隐藏在现象背后的规律。这些发现不仅推动了科学技术的发展，也塑造了我们理解世界的视角。

1+1=2

勾股定理的发现与不同文化中的称呼，如毕达哥拉斯定理、商高定理等，反映了数学真理的普遍性。古埃及、中国、印度等地几乎同时独立发现这个公式，体现出人类对几何学理解的共通之处。希腊数学家毕达哥拉斯在该定理的发展中扮演重要角色，他的学派对数的崇拜影响了他们对数字的理解和一些独特规定。

然而，毕达哥拉斯定理引发了关于无理数的争议，导致学派内部冲突。尽管如此，这个定理对数学史产生了深远影响，并在现代科学中依然占据核心地位。对数的发明与应用显著提升了计算效率，使得科学家如开普勒能揭示天文学定律。纳皮尔发明了对数，布里格斯对其进行了改进，使对数成为天文学家不可或缺的工具。

在没有电子计算器的时代，对数和计算尺是工程师解决复杂问题的关键，例如建造帝国大厦和研究电磁学等领域的重要成就。麦克斯韦方程组以简洁的方式概括了电磁学规律，并对狭义相对论等科学发现产生了深远影响。爱因斯坦基于光速不变的假设推导出质能方程 E=mc²，揭示了质量和能量之间的深刻联系。

统计学在分子运动论的发展中起到了关键作用，展示了系统趋向无序和熵增加的原理。克劳修斯引入热力学第二定律中的熵概念，玻尔兹曼则将其与微观状态数量关联起来。科技进步如火箭发明使人类能抵抗地球引力进入太空。早期文明如伊尚戈骨骸和古巴比伦六十进制显示出数学认知与记数实践的早期发展。

毕达哥拉斯年轻时游历各国，受埃及启发发现直角三角形定理，即“毕达哥拉斯定理”。他的学派对数的深入研究影响了后世。然而，无理数的引入挑战了他们的观念，导致内部冲突。尽管如此，毕达哥拉斯的工作奠定了现代数学的基础。

对数的发明极大地提高了计算效率，使得科学家能够解决以前无法处理的问题。纳皮尔和布里格斯的贡献使对数成为科学研究中的重要工具，特别是在天文学领域。在没有电子设备的时代，对数和计算尺是工程师们进行复杂计算不可或缺的辅助。

麦克斯韦方程组的精炼表述对电磁学理论产生了深远影响，并被誉为“上帝亲手写下的诗歌”。爱因斯坦的质能方程 E=mc²是一个简洁而深奥的公式，揭示了质量和能量之间的等价关系，是物理学的重要里程碑。这些科学成就反映了人类对宇宙和自然法则的不断探索与理解。

太空探索的概念源于科幻小说中的设想，如超级大炮发射飞行器。随着科技的进步，儒勒·凡尔纳的小说启发了电影《月球旅行记》的创作。进入太空需要克服地球引力，达到第一宇宙速度。齐奥尔科夫斯基、戈达德和布劳恩的理论与实践成果推动了现代火箭的发展，最终实现人造卫星发射和载人航天飞行，人类成功打破了地球的束缚，开启了探索宇宙的新篇章。

勾股定理

杠杆原理在日常生活中的应用广泛，如跷跷板、剪刀等工具。古希腊数学家阿基米德阐述了杠杆原理，并豪言能借助支点移动地球。实际上，人类很早便开始运用杠杆制作机械，如旧石器时代晚期的投枪器和古埃及金字塔修建时使用的杠杆。中国古代对杠杆的研究也不少，《墨经》中墨子及其弟子详细解释了平衡与应用方法。桔槔、杆秤是中国古代的重要工具，前者用于取水，后者称重；多支点的铢秤适应不同重量测量。天文学家约翰·纳皮尔受数学启发设计出对数表，简化乘法为加法，提升研究效率，促进科学领域发展。

爱因斯坦基于迈克耳孙-莫雷实验结果提出光速在真空中的恒定性，这一假设导致质速公式和质能方程E=mc²的推导，揭示质量和能量间的转换，强调物质中蕴含的能量。尽管源于一次被认为失败的实验，但爱因斯坦的理论革新了牛顿物理学，对科学界影响深远。

没有计数能力，人类语言和数学将受阻。远古人类如伊尚戈骨骸显示已具备基本数学概念。《周髀算经》记录浮力原理发现，加菲尔德总统曾提出证明方法。阿基米德的杠杆计算展示了原理巧妙应用，尽管现实中不可能实现。关于他裸奔宣称发现浮力的故事可能是后人附会，但体现了他对科学的热情。

综上所述，杠杆原理在生活中的广泛应用、爱因斯坦对光速和能量转换的贡献，以及人类计数能力对数学发展的重要性，都展示了科学原理的魅力与影响。阿基米德的故事则提醒我们，科学研究的热情和成果是值得纪念的，即使有些细节可能是后人的想象。

杠杆原理

在16世纪这个天文学蓬勃发展的时代，波兰科学家哥白尼的日心说对科学发展起到了推动作用。然而，当时天文计算中的巨大数字阻碍了研究的进程。为解决这一问题，数学家约翰·纳皮尔受到等比数列的启发，创新性地发明了对数。对数将复杂的乘法运算简化为加法，极大地提升了天文学家的工作效率。这个发明迅速在欧洲传播，并广泛应用于科学研究和工程计算，例如开普勒定律的发现以及帝国大厦等建筑的设计。直到20世纪70年代电子计算器出现，对数才逐渐被取代。

热力学第二定律揭示了热量不能自发从低温物体流向高温物体的自然规律。与此相关的熵概念，则描述了系统的无序程度。这两个理论为我们理解世界提供了深刻的视角。例如，它们解释了为什么时间总是朝一个方向流动，以及为什么生命过程本质上是不可逆的。

数学领域中，勾股定理是一个跨越千年的经典发现。其起源可以追溯到周公与商高的对话，历经多个朝代和数学家的研究，至今仍有许多不同的证明方法。美国总统加菲尔德对勾股定理的独特证明，因其新颖性而被称为“总统证法”，展示了数学的无限魅力。

阿基米德是古希腊最杰出的科学家之一，他的贡献涵盖了数学、物理学和天文学等多个领域。他的杠杆原理改变了我们对力的理解，浮力理论则为船舶航行提供了理论基础。尽管关于他因发现浮力原理而裸奔的故事可能被误解，但这并不影响他在科学史上的重要地位。

总的来说，这些伟大的科学家们通过他们的创新思维和深入研究，不仅推动了各自领域的进步，也深刻地影响了人类对世界的认知。他们的工作成果至今仍是我们理解和探索世界的重要工具。

对数

牛顿发现万有引力定律的故事及其影响。尽管流传的版本中牛顿被苹果砸中头部的情节可能是后人加工的，但苹果落地的现象确实启发了他思考地球与物体间力的作用。在前人如哥白尼、开普勒和伽利略的研究基础上，牛顿提出了万有引力定律，这极大地推动了天文学和物理学的发展。然而，要通过实验精确测量引力常数并计算地球质量，直到卡文迪许采用创新方法才得以实现，他的工作不仅验证了牛顿理论的准确性，还开启了专业科学实验室的新篇章。



万有引力

麦克斯韦方程组的由来和重要性。尽管电与磁现象在古代就被发现，但直到19世纪初，科学家们还未找到它们之间的联系。奥斯特发现了电流的磁效应，法拉第则发现了电磁感应定律，这些发现为麦克斯韦建立理论奠定了基础。麦克斯韦用数学工具补充和完善了法拉第的学说，提出了经典电磁场理论，并预言了电磁波的存在。尽管起初不被广泛接受，但海因里希·赫兹的实验证实了麦克斯韦的预言，麦克斯韦方程组也因此被称为“世界上最伟大的公式”。这组方程几乎概括了电磁学的所有规律，对后来的科技发展如无线电通信和相对论的发现产生了深远影响。



麦克斯韦方程组

热力学第二定律阐述了孤立系统在自发过程中熵不会减少的原理，熵是衡量系统混乱程度和过程不可逆性的参数。克劳修斯最早提出熵的概念，玻尔兹曼进一步建立了熵与微观状态数量的关系。例如，家中杂乱无章或操场上的学生不会自动排列整齐，这些现象都可以通过熵增原理来解释。

科技进步对人类探索宇宙产生了深远影响。从古代的神话到现代火箭技术的发展，人类进入太空的历史展示了科技的力量。古巴比伦人采用60进制计数系统，并使用位置计数法记录数字，而古印度人则发明了10进制，也就是我们现在普遍使用的数字系统。他们还创造了阿拉伯数字，这套系统由印度传播到阿拉伯，再进入欧洲，最终取代罗马数字成为主要书写形式。

勾股定理的历史可以追溯到西周时期的周公与商高，他们的发现为后世的数学理论奠定了基础。东汉数学家刘徽提供了不同的证明方法，而美国总统詹姆斯·加菲尔德则以独特的方式解释了这个定理。在物理学领域，伽利略的实验成果对牛顿的理论有着重要影响。

艾萨克·牛顿在其前辈如伽利略的工作基础上提出了万有引力定律，试图计算地球的质量，但受限于引力常数的测量困难。直到亨利·卡文迪许通过精密实验测得引力常数，证实了牛顿理论的正确性，他因此被誉为“称量地球第一人”。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦深受法拉第学说启发，决心用数学工具来补充和发展这一理论。他发表了一系列论文，构建了经典电磁场理论，并预言了电磁波的存在，尽管当时这些理论尚未得到实验验证。

总的来说，无论是物理学的进步还是科技对人类探索宇宙的影响，都体现了人类对知识的渴望和对未知世界的不断探索。从古代文明的计数系统到现代科学的突破，我们见证了思想、创新和技术如何塑造我们的世界。

爱因斯坦和质能方程

1900年开尔文勋爵在英国皇家研究所的演讲，他当时认为物理学已近乎完美，只需解决两个小问题。然而，这些问题后来被称为“两次地震”，对物理学家的世界观产生了深远影响，并至今未完全解决。其中一个与迈克耳孙-莫雷实验相关，该实验旨在检测“以太”的存在，但结果证明“以太”并不存在，这次成功的失败给物理学史留下了重要印记。



最成功的失败

爱因斯坦在专利局任职期间，对远距离时间同步问题产生了浓厚兴趣。他观察到无论光源运动与否，光速对于所有观察者而言保持不变，这一发现与当时的普遍认知相悖。这激发了他对光速不变原理的假设，以此为基础，他推导出了质速方程，进一步引出质能方程E=mc²，揭示了质量和能量之间的等价关系。这一理论对物理学界产生了深远影响，开启了现代物理学的新篇章。

人们对数字的理解和运用至关重要，从孩子学习简单的1+1=2到数学家深入研究其背后的逻辑，体现了人类计数能力的演进与数学进步的紧密联系。小朋友们视之为基本常识，而数学家则强调它是解决复杂问题的基础，没有计数能力，数学和语言文字的发展将受到限制。考古发现如伊尚戈骨骸上的刻痕显示了远古人类对初步计数和数学概念的认知。科学家们通过实验和理论研究，如卡文迪许测量地球质量和引力常数，不断推动科学进步。

电与磁的历史交织在一起，从古希腊人发现摩擦可以产生电，到法拉第揭示电磁感应定律，再到麦克斯韦整合前人的成果，构建经典电磁场理论，并预言了电磁波的存在。他的理论虽在当时未被广泛接受，但对后来的科学家如赫兹产生了重要影响，证实了电磁波的速度等于光速，为现代物理学奠定了基石。

牛顿被誉为科学巨匠，他的成就并非单纯源于苹果落地的灵感，而是建立在哥白尼、开普勒和伽利略等前人研究的基础上。卡文迪许通过精密实验测量出地球质量和引力常数，对物理学的发展做出了不可磨灭的贡献。这些科学家们的探索精神和不懈努力，共同编织了科学史上的壮丽篇章。

解决掉乌云的人

原子弹与质能方程的误解。实际上，原子弹的研发始于核裂变现象的发现，而爱因斯坦的质能方程只是后来解释了原子弹能量来源。质能方程虽简洁且深远，但并不是原子弹产生的必要条件。



质能方程诞生了原子弹？

奥地利物理学家哈泽内尔在1904年发表的论文中提出的质能方程（E=3/8(mc²)），他在次年修正为E=3/4(mc²)，但因忽略了一个关键条件，未能得出完全正确的爱因斯坦版质能方程。同时期，法国数学家庞加莱也独立推导出相同的公式，但他主要通过数学方法且对物理意义理解不深。庞加莱欣赏爱因斯坦的工作，并帮助推广了这一理论，承认是爱因斯坦首先发现质能方程。



与真理擦肩而过的科学家

质能方程

自古希腊时期以来，科学家对光的本质的研究经历了微粒说和波动说的交替发展。微粒说解释了光的直线传播和反射现象，但无法解答光束碰撞时不弹开的问题。波动说通过水波类比解释了这些现象，但也面临光在真空中传播的挑战。直到19世纪，波动说因理论支持和实验验证而占据上风。然而，20世纪初量子理论的提出和爱因斯坦对光量子的假设，使微粒说重新出现，并最终与波动说相结合，形成了波粒二象性理论。这一理论揭示了物质粒子既具有粒子特性又具有波动性的奇妙现象。



德布罗意方程

热力学第二定律揭示了热量传递的不可逆性，即热量不能自发地从低温物体传到高温物体。这一法则与熵的概念紧密相连，熵是衡量系统混乱程度的物理量，随时间推移，系统倾向于向熵增大的方向发展。克劳修斯首次提出了熵的概念，玻尔兹曼则将其与微观状态的数量关联起来，形成了玻尔兹曼熵公式。通过熵增原理，我们可以理解为什么房间会变得杂乱无章，学生在操场上不会自发排列整齐。

古代的计数方法经历了漫长的发展过程。从古巴比伦的60进制到古印度的10进制，后者成为了现代通用数字系统的基础。古印度不仅是十进制的先驱，还发明了阿拉伯数字，这套数字由阿拉伯人引入欧洲，并因其书写简便性逐渐取代罗马数字，成为主流计数方式。勾股定理的历史也值得探讨，从周公与商高的对话到毕达哥拉斯的发现，这个数学原理在不同时代得到了不同形式的阐述。

量子力学领域中，德布罗意做出了重要贡献。他出生于一个贵族家庭，最初主修历史，后来转向物理学。在他的导师保罗·朗之万的影响下，德布罗意提出了电子具有波粒二象性的理论，并在博士学位论文中详细阐述了这一观点。尽管他的理论起初受到质疑，但戴维逊和G·P·汤姆孙的实验最终证实了他的假设。因此，德布罗意荣获诺贝尔物理学奖，他的“相波”理论对量子力学的发展产生了深远影响。

在物理学的另一领域，迈克耳孙-莫雷实验揭示了以太不存在的真相，这预示着科学理论即将迎来重大突破。在此之前，迈克耳孙和莫雷试图通过实验验证以太的存在，但结果却否定了这个假设。这一发现促使科学家重新审视物理学中的基本概念，为后来的相对论奠定了基础。

电子的波动性是量子力学中的一个核心概念，德布罗意对此做出了开创性的贡献。他的理论挑战了经典物理学的观点，认为微观粒子如电子不仅具有粒子特性，还展现出波动行为。尽管这个理论在提出初期遭受质疑，但戴维逊和G·P·汤姆孙的实验最终证明了其正确性。这些实验观察到了电子衍射现象，与德布罗意波的预测相符。因此，他在1929年获得了诺贝尔物理学奖，以表彰他对量子力学发展的深远影响。

在探索宇宙奥秘的过程中，科学家们不断挑战既有理论，提出新的假设并进行验证。迈克耳孙-莫雷实验就是一个典型的例子，它否定了以太存在的观念，引发了对物理学基础的重新思考。这个实验试图通过测量光速的变化来探测以太风的存在，但结果却是光速保持不变，无论观察者相对于以太运动的方向如何。这一发现揭示了物理学中需要重新审视的问题，预示着科学理论即将发生重大变革。

量子力学的发展不仅推动了科学技术的进步，也改变了我们对世界的理解。从电子的波粒二象性到相对论的诞生，每一次理论突破都带来了深刻的哲学启示。这些科学成就提醒我们，尽管人类的知识有限，但通过持续探索和实验，我们可以逐步揭示宇宙的奥秘。

玻尔兹曼公式

自古以来，人类对太空的向往激发了无数想象与实践。中国嫦娥奔月的神话开启了探索之旅，西方科幻小说中的奇思妙想如超级大炮则展示了无限创意。科学实践中，液体燃料火箭的发明和现代火箭的诞生，为实际进入太空奠定了基础。随着万有引力定律的应用，人们逐渐掌握进入太空所需的条件，最终实现了宇航员的历史性突破。

阿基米德在科学研究上的成就影响深远，他计算出球体与圆柱体的关系，推动微积分发展；设计天象仪预测天文现象；对地球运动的质疑预示日心说。他还阐述了杠杆原理，解释省力机制。瑞士钟表匠比尔吉独立发明对数和算法，而牛顿关于万有引力定律的故事与事实间存在差异。卡文迪许克服困难，提出热力学第二定理的微观解释，并在火箭理论中贡献了火箭方程式和多级火箭构想。

19世纪，波动说占据光的性质研究主导地位，解释了光波的传播特性。然而，量子理论的出现重新揭示了光的粒子性，使得微粒说与波动说以波粒二象性的形式并存于现代物理学中。热力学第二定理通过分析两杯水混合过程中的分子运动无序性增加，阐述了自发过程的方向。

回顾历史，人类对未知的探索从未停歇，从神话、科幻到科学实践，每个时代都留下了独特的印记。这些成就不仅推动了科技发展，也不断丰富着我们对世界的理解。

不可不知的数学知识