卢昌海，杭州人，复旦大学物理系本科毕业后，赴美深造，2000年获得哥伦比亚大学物理学博士学位。现为纽约客。他著有《那颗星星不在星图上》等多部科普著作，曾获吴大猷科学普及著作原创类金签奖，作品入选“2014中国好书”。他在多个媒体发表科普文章，个人网站为http://www.changhai.org/，新浪微博为http://www.weibo.com/ChanghaiNews。

作者以非常明晰的数学阐释文字与优雅、生动、有趣的传记和历史篇章交替出现，对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述，而这个谜还将继续挑战和刺激着世人。大师留给我们的岂止是一些公式、原理？还有他们对未知世界的探索精神，这都将激发人们对理想和美的追求。
《黎曼猜想漫谈：一场攀登数学高峰的天才盛宴》用科普的语言、用抽丝剥茧的方式讲述了黎曼猜想提出后一百多年里的方方面面。这使得对数学知识知之不多的读者了解黎曼猜想也成为可能。作者讲述了曾经从事过黎曼猜想的著名数学家的生平趣事和在黎曼猜想研究方面所做的贡献，介绍了100多年里相关数学理论和工具的发展情况。人们常常将好的数学问题比喻成会下蛋的母鸡，以此形容好的数学问题在数学发展过程中的推动作用。从这样的数学问题研究过程中，我们可以管窥数学发展的概貌。因此，阅读本书能够帮助我们了解与黎曼猜想有关的数学进展。

卢昌海，出生于杭州，本科就读于复旦大学物理系，毕业后赴美留学，于2000年获美国哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。
著有《那颗星星不在星图上：寻找太阳系的疆界》、《上下百亿年：太阳的故事》、《黎曼猜想漫谈》（获第七届吴大猷科学普及著作原创类金签奖）、《从奇点到虫洞：广义相对论专题选讲》、《小楼与大师：科学殿堂的人和事》（入选“2014中国好书”）、《因为星星在那里：科学殿堂的砖与瓦》、《霍金的派对：从科学天地到数码时代》等，并曾在《南方周末》、《科学画报》、《现代物理知识》、《数学文化》（任特约撰稿人）等报纸、杂志上发表一百多篇科普及专业科普作品。

黎曼猜想这一数学难题的背景和重要性。文章从黎曼猜想的起源、发展以及与素数分布的关系入手，详细阐述了其复杂性和数学背景。通过引入黎曼ζ函数、亚纯函数等概念，深入解析了黎曼猜想与素数定理之间的联系。此外，文章还介绍了黎曼猜想的研究进展，包括韦伊猜想、德利涅证明等，以及它们在解析数论领域的应用。最后，文章强调了黎曼猜想作为数学“下金蛋的母鸡”的重要性，以及解决这一难题可能带来的深远影响。



《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）

哈代这位英国数学家在17世纪英国数学界保守氛围中，对欧洲大陆数学进展，尤其是黎曼猜想的积极研究态度。哈代与丹麦数学家玻尔共同探讨黎曼猜想，在乘坐小船返回英国途中，因担心船只沉没，他寄给玻尔一张明信片，声称已证明黎曼猜想，实则是一种幽默的自嘲。哈代深知自己不信上帝，却将证明黎曼猜想视为重要心愿，这一举动也体现了他的勇气和幽默感。



1 哈代的明信片

黎曼ζ函数，这是一个由德国数学家黎曼命名的函数，它的定义是一个级数表达式，但仅适用于复平面上s的实部大于1的区域。黎曼找到了这个表达式的解析延拓，并证明了它在整个复平面上都是解析的。黎曼ζ函数有一个特殊的性质，就是它有零点，这些零点分布在复平面上，其中有一类被称为平凡零点，另一类则是非平凡零点。黎曼猜想就是关于这些非平凡零点的，它猜测这些零点都位于临界线上。



2 黎曼ζ函数与黎曼猜想

复数域上的黎曼ζ函数与素数分布之间的奇妙联系。从欧拉乘积公式出发，揭示了素数分布的规律，并通过黎曼ζ函数的零点分布，进一步探讨了素数分布的奥秘。欧拉通过巧妙的方法，证明了素数有无穷多个，并且发现素数的分布比其他序列更为密集。高斯和勒让德也独立地提出了素数定理，为后续的研究奠定了基础。尽管素数定理给出了素数分布的一个渐近形式，但黎曼在1859年提出了一个更精确描述素数分布的问题，将素数分布的研究推向了新的高峰。



3 素数的分布

黎曼的论文《论小于给定数值的素数个数》，这篇论文被视为数学史上意义深远且难啃的经典之作。黎曼以欧拉乘积公式为起点，通过引入斯蒂尔切斯积分，将欧拉公式转化为积分形式，揭示了黎曼ζ函数与素数分布之间的深刻联系。他巧妙地利用默比乌斯反演，成功地将ζ函数与素数分布函数联系起来，为素数研究开辟了新的天地。黎曼的论文展现了高屋建瓴的宏伟视野，其高度浓缩的文句背后蕴含着丰富的数学成果，至今仍令后世数学家们陷入深思。



4 黎曼的论文——基本思路

黎曼的论文《零点分布与素数分布》中，黎曼ζ函数与素数分布之间深刻的关联。为了研究复杂的黎曼ζ函数，黎曼引入了辅助函数ξ（s），其性质比黎曼ζ函数简单，且可以将黎曼ζ函数的代数关系式简化为对称形式。ξ（s）的零点与黎曼ζ函数的非平凡零点相重合，将非平凡零点从全体零点中分离出来。黎曼ζ函数的所有非平凡零点都位于复平面上0≤Re（s）≤1的区域内。黎曼ζ函数非平凡零点的分布对素数定理与素数实际分布之间的偏差有着重要影响，黎曼猜想的研究揭示了素数分布背后的规律和秩序。



5 黎曼的论文——零点分布与素数分布

黎曼猜想这一数学难题，虽然最初二三十年间没有重大进展，但到了1885年，荷兰数学家斯蒂尔切斯声称自己证明了黎曼猜想，然而他并未提供具体证明。尽管当时学术界倾向于相信他的声明，但斯蒂尔切斯最终也没有公布完整的证明。与此同时，另一位数学家阿达马的研究虽然未能证明黎曼猜想，却为素数定理的证明做出了贡献。斯蒂尔切斯虽然在其他领域有重要贡献，但他的黎曼猜想声明并未得到认可，现在普遍认为其证明是错误的。



6 错钓的大鱼

素数定理的探索历程，从高斯与勒让德的提出，到切比雪夫的证明，再到黎曼利用复变函数方法的研究，数学家们逐步揭示了素数分布的秘密。然而，黎曼ζ函数非平凡零点的分布成为了关键难题。曼戈尔特利用更简单的Ψ（x）函数证明了与黎曼公式等价的结果，推动了素数定理的证明。最终，阿达马与普森完成了最后一小步的证明，使素数定理得以确立。这一证明不仅加深了人们对黎曼ζ函数非平凡零点分布的了解，也使黎曼猜想成为数学界关注的焦点。



7 从零点分布到素数定理

黎曼ζ函数的非平凡零点，它们隐藏在黎曼猜想的核心。数学家们历经多年努力，才逐渐计算出这些零点的数值。格拉姆在1903年首次公布前15个非平凡零点的计算结果，后来贝可隆和哈代等人继续推进，至1925年已计算出前138个零点。然而，计算过程复杂，零点计算一度陷入停顿。这些零点对于理解素数分布规律至关重要。



8 零点在哪里

黎曼猜想这一数学难题的难度和挑战，数学家们对其证据的质疑和探索。黎曼的手稿被视为解开谜团的关键，但大部分手稿已失，只有少量幸存。哥廷根大学图书馆珍藏的黎曼手稿成为数学家和数学史学家研究的重要资料。尽管手稿晦涩难懂，但西格尔的突破性发现让黎曼猜想的计算方法有了重大进展。



9 黎曼的手稿

德国数学家西格尔在研究黎曼猜想的过程中，意外发现了黎曼手稿中的秘密，揭示了黎曼ζ函数的前三个非平凡零点的数值。西格尔通过对黎曼手稿的整理，发现黎曼的计算方法远超当时数学界的认知，被誉为黎曼-西格尔公式。这一公式不仅证明了黎曼猜想的运算背景，也展示了黎曼的卓越才华。然而，这段辉煌的哥廷根数学时代却在纳粹的统治下走向衰落，许多杰出科学家被迫离开，哥廷根的数学传统黯然落幕。



10 探求天书

黎曼-西格尔公式的推导及其应用。该公式虽复杂，但能帮助我们理解黎曼ζ函数的非平凡零点。通过对辅助函数ξ（s）的零点计算，我们可以确定黎曼ζ函数的非平凡零点。公式通过将问题简化为研究Z（t）的零点，为我们提供了计算黎曼ζ函数数值的方法。尽管计算过程繁复，但借助现代工具，我们仍能逐步逼近零点的位置。



11 黎曼-西格尔公式

DIY这种新兴的休闲方式，它鼓励人们亲自动手做一些原本只有工匠才做的东西。本文以计算黎曼ζ函数的非平凡零点为例，介绍了DIY在数学领域的应用。文章首先介绍了黎曼-西格尔公式，并分析了其计算特点，然后通过估算零点位置和计算Z(t)的符号变化，证明了黎曼ζ函数在特定区间内存在零点。最后，文章指出，这种方法暗示着黎曼ζ函数在临界线上的零点数目与cos[θ(t)]的零点数目相当，这与黎曼的第二个命题有关。



12 休闲课题：围捕零点

黎曼-西格尔公式的发表对黎曼ζ函数非平凡零点计算的推动作用，随后英国数学家蒂奇马什运用该公式和打孔式计算机计算了1041个零点，这是首次大规模使用机器取代传统纸笔计算。二战后，图灵继续推进零点计算，尽管他的机器坏了，个人生活也遭遇挫折，但他的努力使零点计算数量大幅增加。此后，随着计算机技术的进步，数学家们对零点的计算速度越来越快，记录不断被刷新。



13 从纸笔到机器

两位数学家查基尔和邦别里关于黎曼猜想的赌局。查基尔认为计算出的零点不足以证明黎曼猜想，而邦别里坚信其成立。他们以三亿个零点为赌注，最终邦别里获胜，查基尔输了赌局，并买下了两瓶昂贵的波尔多葡萄酒作为赔偿。这一系列事件展现了数学探索的趣味与挑战，以及科技进步对数学研究的推动。



14 最昂贵的葡萄酒

黎曼ζ函数非平凡零点的计算历程。早期由于存储空间和计算能力的限制，研究者主要验证零点是否位于临界线上，而非计算具体数值。随着计算机技术的进步，零点计算数量迅速增加。21世纪初，Zeta Grid计划通过分布式计算进一步推进了零点计算，大大拓展了资源利用面，使得零点计算得以迅速增加。



15 更高、更快、更强

蒙哥马利对黎曼ζ函数零点分布的统计关联研究。他发现零点分布并非随机，而是存在排斥趋势，这与素数分布截然不同。为了验证这一假设，欧德里兹科进行了大规模零点计算，结果与蒙哥马利的理论预测惊人地吻合。这一发现不仅为研究黎曼猜想提供了新的视角，也揭示了数学与物理之间的奇妙联系。



16 零点的统计关联

蒙哥马利在研究黎曼ζ函数非平凡零点时遇到了难题，他去美国参加解析数论会议并购买了房子，但担忧自己可能已经与另一位数学家塞尔伯格“撞车”。他决定去普林斯顿高等研究院拜访塞尔伯格，但塞尔伯格并没有给出具体意见。在茶室里，他遇到了物理学家戴森，戴森对蒙哥马利研究的密度函数十分熟悉，并告诉他这是随机厄密矩阵本征值的对关联函数。两人因此有了深入的交流。



17 茶室邂逅

随机矩阵理论在物理学中的重要地位。由于现实物理体系往往是多体的，对它们的研究离不开近似方法，其中统计方法是不可或缺的。在统计物理中，引入了“系综”的概念，即满足一定宏观约束条件的大量全同体系的集合。随着研究的深入，物理学家们开始接触到一些连系综也无法处理的物理体系，于是将哈密顿量也随机化，形成了随机矩阵理论。戴森对随机矩阵理论进行了深入研究，并提出了三种类型的物理体系，分别是幺正矩阵、正交矩阵和辛矩阵。他还引进了高斯型分布，并利用威格纳半圆律对能级分布进行了分析。这一理论不仅在量子体系中有着广泛的应用，还与黎曼ζ函数非平凡零点分布有着神奇的联系，引发了人们对其背后深层次意义的思考。



18 随机矩阵理论

蒙哥马利关于黎曼ζ函数非平凡零点分布的研究，他提出了零点分布与随机矩阵理论之间的关联。尽管当时这一理论并未得到广泛认可，但随着计算机技术的进步，欧德里兹科通过大规模计算提供了数值证据，验证了蒙哥马利的猜想。这种关联后来被称为蒙哥马利-欧德里兹科定律，它揭示了黎曼ζ函数非平凡零点分布与随机厄密矩阵本征值分布的相似性，进一步推动了相关领域的研究。尽管高阶关联函数的研究尚未得到严格证明，但黎曼ζ函数与随机矩阵理论之间的联系已成为一个不容忽视的领域。



19 蒙哥马利-欧德里兹科定律

希尔伯特-波利亚猜想，一个关于黎曼ζ函数非平凡零点与厄密算符本征值之间关系的猜想。这个猜想与蒙哥马利-欧德里兹科定律有着密切的联系，后者描述了黎曼ζ函数非平凡零点的分布可以用随机厄密矩阵的本征值分布来描述。然而，这一猜想直到今天仍未得到充分的理解和证实。令人惊奇的是，这个猜想的历史起源模糊不清，连希尔伯特和波利亚本人也没有留下任何关于它的文字记录。直到1981年，波利亚才通过一封信件透露了部分想法，使得这一猜想得以重见天日。



20 希尔伯特-波利亚猜想

黎曼ζ函数的非平凡零点与量子力学体系的能级之间的对应关系，提出了黎曼体系的猜想。该体系可能是一个特殊的随机厄密矩阵描述的量子体系，其能谱与经典混沌体系的能谱相对应。研究者们通过戈兹维拉求迹公式和黎曼ζ函数的非平凡零点的密度函数，发现黎曼体系具有周期等于素数对数的闭合轨道这一奇异特征。这或许揭示了数学与物理之间的奇妙联系，揭示了大自然无穷造化的美丽。



21 黎曼体系何处觅

黎曼ζ函数的非平凡零点与素数分布之间的关联，以及非平凡零点的计算。随后，通过介绍阿达马与普森的结果，揭示了黎曼ζ函数非平凡零点的分布与物理之间的关联。本章重点介绍了玻尔-兰道定理，该定理建立了｜ζ（s）｜2的平均值与ζ（s）的零点分布之间的联系，并证明了对于任何δ＞0，位于Re（s）≥1/2+δ的非平凡零点在全部非平凡零点中所占比例为无穷小。这一结果进一步揭示了临界线在非平凡零点分布中的独特地位，即它是黎曼ζ函数非平凡零点的汇聚中心。尽管无法直接证明几乎所有的非平凡零点都落在临界线上，但玻尔-兰道定理为我们提供了关于非平凡零点分布的重要信息，使我们对黎曼猜想有了更深入的了解。



22 玻尔-兰道定理

哈代定理的诞生及其在黎曼猜想研究中的重要作用。1914年，哈代的研究成果一举将临界线上的零点数目扩大到无穷，为黎曼猜想提供了强有力的支持。这一成就震动了欧洲大陆数学界，标志着黎曼猜想研究的一个重大突破。哈代定理虽然没有给出具体零点数值，但其存在性证明使得人们对黎曼猜想的信心倍增。然而，黎曼猜想的研究仍在继续，距离目标还有很长的路要走。



23 哈代定理

哈代和利特尔伍德两位英国数学家，他们在黎曼ζ函数的研究上有着深刻的合作。利特尔伍德在导师巴恩斯的引导下，对ζ函数的零点位置产生了兴趣，并最终在哈代的帮助下，发现了ζ函数与素数分布的紧密联系。哈代和利特尔伍德共同研究了ζ函数在临界线上的非平凡零点，提出了著名的哈代-利特尔伍德定理，尽管这一结果与黎曼猜想相比显得微不足道，但它仍然是第一个关于ζ函数非平凡零点在临界线上的具体分布的解析结果。



24 哈代-利特尔伍德定理

挪威数学家塞尔伯格，他是一位独立研究的数学家，尽管时代趋势是合作，但他始终选择独自探索。他的数学天赋在年轻时便显现，十二岁开始自学高等数学，十五岁发表作品。二战期间，他在挪威的孤立环境反而使他能够专注于研究，这种独立风格在他后来成为普林斯顿高等研究院的成员后也没有改变。他的工作虽然很多没有发表，但他的贡献和成就仍然得到了世界的认可，甚至吸引了普林斯顿高等研究院的邀请。



25 数学世界的“独行侠”

临界线定理的背景，即塞尔伯格在黎曼猜想研究上的成就。他深入研究了哈代-利特尔伍德定理，发现其结果较弱，于是尝试突破原有方法。他关注被积函数，并引入调制函数，通过复杂的计算和推理，成功证明了比哈代-利特尔伍德定理更强的结果——临界线定理。这一成果在黎曼猜想研究中具有重要意义，标志着数学家们对临界线上的零点数目比例有了突破性认识。



26 临界线定理

黎曼ζ函数临界线上的零点比例这一数学难题，起初塞尔伯格曾给出5%到10%的估计，但具体数值未明确。中国数学家闵嗣鹤也计算过这一比例，但结果未引起广泛关注。美国数学家莱文森则采用了一种新的方法，即莱文森方法，将ζ函数与其导数的零点分布关联起来，最终给出了一个相当可观的下界估计，为后续研究奠定了基础。然而，他的最初乐观估计98.6%最终被修正为34%，尽管如此，莱文森的研究仍然具有重要意义。



27 莱文森方法

莱文森方法在研究黎曼ζ函数零点方面的应用。莱文森本人曾提高零点比例的下界估计，但随后数学家们的进展缓慢。中国数学家楼世拓和美国数学家康瑞分别提高了这一比例，康瑞更是将比例系数提高至0.4，成为目前最强结果。此外，数学家们还研究了简单零点在非平凡零点中的比例，并探讨了ξ函数及其导数的零点分布，康瑞的研究对黎曼猜想提供了有力支持。尽管目前无法将ξ函数导数的结果转化为ξ函数本身的结果，但这一领域的研究仍具有重大意义。



28 艰难推进

在研究黎曼猜想的过程中，数学家们试图找到位于临界线上的非平凡零点。尽管捕捉零点异常困难，但研究者们已取得了一些进展，如排除Re（s）＜0、Re（s）＞1、Re（s）=0和Re（s）=1的区域。然而，把Re（s）≥1-ε的区域排除掉至今仍未实现，目前仅能证明在特定区域内没有非平凡零点。尽管如此，这些努力为证明黎曼猜想奠定了基础。



29 哪里没有零点

数学家们在探索黎曼猜想过程中的尝试，包括数值计算和解析研究。尽管这些尝试直接针对黎曼猜想本身，但都遇到了困难。文章指出，科学家们遇到难题时会采用间接手段，如研究相等价或类似但更简单的问题。黎曼猜想的艰深性使得“山寨版”的问题成为研究的重要方向。文章以1940年法国数学家埃里·嘉当收到一位数学家从监狱寄来的信件为例，展示了这种间接研究手段的实例。



30 监狱来信

法国数学家韦伊早年的一些经历，包括他的早熟和对数学的热爱，以及他在高等师范学校的求学经历。韦伊还游历欧洲，与苏联数学家结交，并对印度文化产生了浓厚的兴趣。然而，他的印度教和平主义思想和对苏联数学家的友谊却差点让他葬身在异国他乡。二战前夕，他逃避兵役，被芬兰误抓为间谍，险些被处决。最终，是他在芬兰结识的数学家奈望林纳帮助他脱离了死神的魔爪。被送回法国后，韦伊因逃避兵役被判五年监禁，但在二战中法国沦陷之际，他伪造证明逃离了监狱，最终在美国开始了新的生活，并在数学领域取得了诸多成就。



31 与死神赛跑的数学家

“山寨版”黎曼猜想的研究起点——从小学算术的模算术开始。模算术是一种基于周期性的算术，以12为周期循环，类似于时钟的算术。通过引入模算术，引出了域的概念，即一个集合如果元素间加减乘除运算都可以进行，并且结果仍在该集合中，那么这个集合就是域。域分为无限域和有限域，其中有限域由素数的正整数次幂决定。在有限域中，研究代数方程尤为重要，尤其是二元代数方程，其解的集合称为代数曲线。这些研究为“山寨版”黎曼猜想提供了数学基础。



32 从模算术到有限域

“山寨版”黎曼猜想，这是黎曼猜想在有限域上代数曲线的零点分布问题上的一个变种。这个猜想的核心在于黎曼ζ函数，它来源于有限域上的代数曲线，并具有与“正版”黎曼ζ函数相似的性质，如函数方程和欧拉乘积公式。由于代数曲线的种类无穷多，因此“山寨版”黎曼猜想实际上包含了无数个具体的猜想。韦伊对这一猜想进行了推广，提出了韦伊猜想，它不仅包含了“山寨版”黎曼猜想，还涉及到有限域上代数簇的ζ函数。这一猜想的证明过程复杂，涉及到了代数几何、同调理论等多个领域，最终由德利涅在1974年完成，为数学界带来了深远的影响。



33“山寨版”黎曼猜想

“豪华版”的黎曼猜想，它是对普通黎曼猜想的扩展和推广。文章中提到，广义黎曼猜想是其中一种“豪华版”，它使用狄利克雷L函数来研究素数分布。狄利克雷L函数和黎曼ζ函数有着相似之处，但广义黎曼猜想提出了更严格的条件。另一种“豪华版”是扩展黎曼猜想，它使用戴德金ζ函数，这个函数同样与黎曼ζ函数有着紧密的联系。此外，文章还提到了“大黎曼猜想”，这是更为宏大的框架，包含了普通黎曼猜想以及其他所有“豪华版”黎曼猜想。尽管这些猜想都极具挑战性，但它们对数学的发展具有重要意义。



34“豪华版”黎曼猜想

黎曼猜想这一数学难题的探索历程，许多数学家为之付出了艰辛努力，但仍未解决。文中提及了两位数学家孔涅和德布朗基宣称自己证明了黎曼猜想，但他们的证明均被质疑。此外，文章还讲述了数学家纳什和格罗滕迪克因研究黎曼猜想而出现精神问题。最后，文章讨论了关于黎曼猜想正确与否的不同观点，并表达了对这一难题未来发展的期待。



35 未竟的探索

作者创作《黎曼猜想漫谈》的心路历程。书中详细描述了作者从偶然发现三本黎曼猜想科普书开始，对这一数学难题产生浓厚兴趣，并决定撰写专业科普作品的过程。在写作过程中，作者遇到了各种挑战，包括写作速度放缓、合作出版受挫等，但他依然坚持不懈，最终完成了这部作品。书中还提及了作品对读者的吸引力，以及受到数学家的认可，让作者倍感欣慰。

