书籍介绍
《从空间曲线到高斯-博内定理》共分四个部分,十个章节,是论述空间曲线和曲面理论的一本入门读物。 第一部分阐明了本书使用的数学工具:向量的代数运算以及变向量的求导运算。第二部分讨论了曲线的基本概念,引入了弧长参数,也讨论了描述空间曲线变化的曲率与挠率这两个几何量。最后，证明了弗雷内-塞雷公式,并以此证明了曲线的基本定理:曲线的形状是由它的曲率与挠率决定的。第三部分主要讨论的是曲面上的三个基本形式以及曲面上的一些曲率。同时也讨论了曲面上的一些方程式,引入了黎曼曲率张量,并以此证明了高斯的“最了不起定理”。 第四部分讨论了曲面上的测地线,测地方程,以及欧拉公式,罗德里格斯公式,与恩尼珀定理等。在本书的最后一章——第十章中,证明了计算测地曲率的刘维尔公式,并用它证明了闭曲面的高斯-博内定理。据此,引入闭曲面的欧拉示性数,证明它是一个拓扑不变量。
用户评论
R^3上的经典曲线曲面论，某些概念的引入并不十分严谨（比如“du既表示坐标函数u的微元，又表示切平面中向量dx的分量”这种说法），不过严格的定义需要流形上的对偶矢量场和微分形式，这就超出经典曲面理论的范围了。虽然本书的处理方法不能直接推广到一般的微分流形，但提供了许多概念的几何直观，作者说本打算把黎曼几何初步放在这本书中，最后选择了放在张量分析那本里，这样的选择大概是有道理的，至少这本的内容本身是自足的，而缺少张量的介绍也很难展开黎曼几何的内容
阿贝尔定理和超越数那两本书，要去的目的地你从一开始就是知道的，高中生就能理解的，所以是非常好奇的。翻开书的时候就向往着一个奇妙之旅，且一边看一边有靠近核心的激动感。而这本书更像一本枯燥的教科书。作为教科书的话，我打3星。如果作为激发兴趣的读物的话，就只能2星了。